خاصیت گلفاند-فیلیپس و ایده آلهای عملگری

زیرمجموعه a از فضای باناخ x را محدود گوییم هرگاه هر دنباله پوچ ضعیف ستاره در فضای دوگان x، روی a همگرای یکنواخت باشد، حال اگر هر مجموعه محدود در x، فشرده نسبی باشد، آنگاه x با خاصیت گلفاند-فیلیپس نامیده می شود. به طور معادل x دارای خاصیت گلفاند-فیلیپس است اگر و تنها اگر هر دنباله پوچ ضعیف و محدود در x نرم پوچ باشد. از این رو بررسی عملگرهای بین فضاهای باناخ که هر دنباله پوچ ضعیف و محدود را به یک دنباله نرم پوچ تصویر کند می تواند حائز اهمیت باشد. این عملگرها را کاملاً پیوسته محدود (یا به اختصار lcc) می نامیم. ثابت می شود که خانواده همه عملگرهای کاملاً پیوسته محدود یک ایده آل عملگری است و هر عملگر کاملاً پیوسته عملگری کاملاً پیوسته محدود می باشد. همچنین نشان می دهیم که هر عملگر فشرده ضعیف نیز کاملاً پیوسته محدود می باشد و فضای باناخ x دارای خاصیت گلفاند-فیلیپس است اگر و تنها اگر هر عملگر کراندار روی x کاملاً پیوسته محدود باشد. در این پِژوهش شرایط لازم و کافی برای آنکه زیر فضای m از بعضی ایده آلهای عملگری دارای خاصیت گلفاند-فیلیپس باشد در رابطه با lcc بودن عملگرهای محاسبه ای را بررسی می کنیم.به عنوان یکی از اهداف اصلی ثابت می شود که تحت شرایط مناسب کاملاً پیوستگی محدود عملگرهای محاسبه ای روی زیرفضاهای عملگری یک شرط لازم و کافی برای خاصیت گلفاند-فیلیپس آن زیرفضاها می باشد.یکی از مفاهیم اصلی دیگر این پژوهش، مفهوم مجموعه های l-محدود و فضاهای باناخ با خاصیت l-محدود است. زیرمجموعه a از دوگان *x را مجموعه ی l-محدود گوییم هرگاه هر دنباله پوچ ضعیف و محدود در x، روی a همگرای یکنواخت باشد اگر هر مجموعه ی l-محدود، فشرده ضعیف نسبی باشد، آنگاه با خاصیت l-محدود نامیده می شود و هر فضای باناخ با خاصیت l-محدود یک فضای گروتندیک است. عکس گزاره فوق در بعضی از مشبکه های باناخ نیز برقرار است. ثابت می شود که فضای باناخ x دارای خاصیت گلفاند-فیلیپس است اگر وتنها اگر هر زیر مجموعه کراندار از فضای دوگان آن l-محدود باشد. در این پژوهش همچنین متمم پذیری عملگرهای کاملاً پیوسته را در فضای عملگرهای کاملاً پیوسته محدود مورد بررسی قرار می دهیم. بخصوص ثابت می کنیم که اگر فضای باناخ y شامل یک نسخه از فضای دنباله های اسکالری کراندار باشد، فضای باناخ x دارای خاصیت l-محدود است اگر و تنها اگر فضای عملگرهای فشرده ضعیف در فضای عملگرهای lcc متمم پذیر باشد.